Minicurso

Estão abertas as matrículas para o minicurso PGF5363 - Estruturas fractais em dinâmica não-linear e aplicações que vale 2 créditos no histórico acadêmico. A disciplina tem duração de 5 dias e as aulas serão ministradas pelo Prof. Ricardo Luiz Viana, da Universidade Federal do Paraná. Para realizar a matrícula, preencha e entregue na Secretaria o "Formulário de matrícula em disciplina(s)".
Alunos que não têm vínculo com o nosso programa podem se inscrever como alunos especiais mediante a apresentação de alguns documentos; clique aqui para ver quais são.

Veja, abaixo, o programa fornecido pelo professor.

Objetivos

Este minicurso abrangerá os aspectos básicos da teoria de fractais em sistemas não-lineares e suas aplicações em diversos ramos da Física (fluidos, plasmas, circuitos elétricos, sistemas mecânicos). Destina-se a estudantes de pós-graduação em Física, Engenharia e Matemática, pós-doutores e pesquisadores interessados no campo. O minicurso será composto de 5 palestras.

Conteúdo

1ª aula: Conceitos básicos
• Fractais – auto-similaridade, dimensão de contagem de caixas, conjunto de Cantor, curva de Koch, tapete de Sierpinski, poeira de Cantor;
• Dinâmica não-linear – sistemas dinâmicos (mapas e fluxos), atratores, atratores fractais e caóticos, expoentes de Lyapunov.

2ª aula: Fronteiras fractais de bacia
• Bacias fractais de atração e fronteiras fractais de bacia, fronteiras fractais localmente conexas e desconexas, bacias entremeadas e crivadas;
• Método da fração incerta – dimensão de incerteza, implementação numérica, sensibilidade ao estado final.

3ª aula: Estruturas fractais em sistemas conservativos
• Variedades invariantes – variedades estável e instável, sela caótica, métodos numéricos para obtenção de variedades (gota, regador, PIM-triplo), dimensão fractal dos conjuntos invariantes;
• Aplicações físicas – espalhamento caótico, bilhares abertos, sistema de Hénon-Heiles, fluxos hidrodinâmicos bidimensionais, movimento E x B de partículas carregadas sob a ação de ondas de deriva, linhas de campo magnético em sistemas de confinamento magnético de plasmas (tokamaks), deflexão da luz por buracos negros, sistemas nanoeletromecânicos.

4ª aula: Entropia de bacia
• Conceitos e definições;
• Quantificação da incerteza de bacias fractais;
• Relação entre a entropia e a dimensão da fronteira de bacia;
• Aplicações em sistemas conservativos abertos.

5ª aula: Propriedade de Wada
• Topologia de bacias de Wada;
• Órbitas periódicas acessiveis e células de bacia;
• Condições para verificação da propriedade de Wada;
• O método de grade de Daza et al.;
• O método da fusão de bacias;
• Aplicações em sistemas conservativos abertos.

Bibliografia

1. J. Aguirre, R. L. Viana, M. A. F. Sanjuán: “Fractal structures in nonlinear dynamics”, Reviews of Modern Physics 81, 333 (2009);
2. A. Daza, A. Wagemakers, B. Georgeot, D. Guéry-Odelin, M. A. F. Sanjuán: “Basin entropy: a new tool to analyze uncertainty in dynamical systems”, Scientific Reports 6, 31416 (2016);
3. A. Daza, A. Wagemakers, M. A. F. Sanjuán, J. A. Yorke: “Testing for basins of Wada”, Scientific Reports 5, 16579 (2015);
4. A. C. Mathias, T. Kroetz, I. L. Caldas, and R. L. Viana, “Chaotic magnetic field lines and fractal structures in a tokamak with magnetic limiter”, Chaos, Solitons & Fractals 104, 588 (2017);
5. A. C. Mathias, R. L. Viana, T. Kroetz, I. L. Caldas, “Fractal structures in the chaotic motion of charged particles in a magnetized plasma under the influence of drift waves”, Physica A 469, 681 (2017);
6. E. C. da Silva, I. L. Caldas, R. L. Viana, and M. A. F. Sanjuán: “Escape patterns, magnetic footprints, and homoclinic tangles due to ergodic magnetic limiters”, Physics of Plasmas 9, 4917 (2002);
7. M. Mugnaine, A. C. Mathias, M. S. Santos, A. M. Batista, J. D. Szezech Jr, R. L. Viana, “Dynamical characterization of transport barriers in nontwist Hamiltonian systems”, Physical Review E, 97, 012214 (2018);
8. A. Gusso, R. L. Viana, A. C. Mathias, and I. L. Caldas, “Nonlinear dynamics and chaos in micro/nanoelectromechanical beam resonators actuated by two-sided electrodes”, Chaos, Solitons & Fractals 122, 6 (2019).